El teorema minimax en el fútbol

El teorema minimax, fue propuesto por primera vez por John von Neuman. En este teorema se considera a dos jugadores participando en un zero-sum game, un tipo de juegos en el que un resultado positivo para uno de los jugadores implica un resultado negativo para el otro. 

El teorema se basa en asumir que los jugadores elegirán aquellas estrategias que les permitan maximizar su ganancia y minimizar la de su oponente, de ahí el concepto de minimax. Cada jugador quiere reducir su pérdida máxima.

Un ejemplo es jugar a piedra papel tijeras. En este juego el objetivo es minimizar la ganancia del oponente, y maximizar la nuestra, y para ello se opta por ganar.

Dentro del concepto de minimax podemos diferenciar varios tipos de estrategias. Las estrategias puras y las mezcladas. Las estrategias puras se basan en elegir siempre la misma opción, por ejemplo sacar piedra siempre. Las mezcladas se basan en probar distintas opciones, como puede ser sacar piedra, papel y tijeras.

De esta forma, si es una desventaja que el oponente sepa lo que vamos a hacer, es mejor elegir algo aleatorio. Si por ejemplo estuviéramos jugando a piedra papel tijera con un amigo que nos conoce, y que sabe que siempre sacamos piedra la segunda vez, es más beneficioso elegir una opción al azar.

Se ha visto también, que si alguien usa una estrategia mezclada contra alguien que usa una estrategia pura, es probable que el primero gane 2⁄3 de las veces que se juegue. Mientras que si ambos usan una mezclada las probabilidades de ganar se equilibran.

De esta forma, sin tener en cuenta la capacidad de que otra persona lea nuestras intenciones, una estrategia mezclada es mejor que una pura. La primera da una probabilidad del 50% de ganar sin importar que haga el oponente, mientras que la segunda solo nos da una probabilidad del 33% en el peor de los casos.

Los penaltis y la estrategia del minimax

La idea del teorema del minimax no fue confirmada con datos empíricos hasta que se empezó a aplicar al fútbol. Para considerarlo un juego al que se aplique minimax, es necesario que cuente con un número de posibilidades finitas, en la que la elección no depende de la del oponente en esa misma jugada.

Los penaltis cumplen con ello. El tirador tiene un número limitado de opciones, puede enviarla directa, a la derecha, o abajo, sin tener en cuenta la altura a la que la lance, y el portero tiene el mismo número de opciones. La ganancia del jugador es meter el gol, la del portero pararlo, y por lo tanto para que gane uno ha de perder el otro.

El balón tarda 0.3 segundos en llegar a la portería, por lo que el portero no puede reaccionar después de ver el tiro. Ha de decidir de antemano que hacer, igual que cuando jugamos a piedra papel tijera. Además, como las elecciones son limitadas, se puede tratar como un problema matemático con un número de variables finito.

Los resultados demuestran que el fútbol cumple con la teoría minimax, en concreto con el hecho de que escoger estrategias mezcladas es más beneficioso que no usarlas. Se ha visto que los tiros de muchos jugadores además siguen un modelo de distribución aleatoria, y que por lo tanto sus elecciones no dependen de la anterior.

Se ha visto, tras estudiar 9000 tiros, que el resultado no depende del lugar al que se lance porque la probabilidad de cualquier posición es alrededor del 80% de éxito.

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